Công thức toán 11 | giải bài tập AI

Question

74 views28 Tháng 4, 2026

0

admin 354 28 Tháng 4, 2026 0 Comments

Cho tôi tất cả công thức toán 11 để ôn tập

score 0 · Answer 1 · 2026-04-28T08:20:56+00:00

Công thức lượng giác cơ bản:
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$
Công thức cộng:
$$ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $$
$$ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $$
Công thức nhân đôi:
$$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $$
$$ \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x $$
Phương trình lượng giác cơ bản:
$$ \sin x = m \Rightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z} $$
$$ \cos x = m \Rightarrow x = \pm \alpha + k2\pi $$
$$ \tan x = m \Rightarrow x = \alpha + k\pi $$
(với $\sin\alpha = m$, $\cos\alpha = m$, $\tan\alpha = m$, $\alpha$ là góc đặc biệt hoặc arcsin, arccos, arctan)

Cấp số cộng (CSC):
- Số hạng tổng quát: $$ u_n = u_1 + (n-1)d $$
- Tổng n số hạng đầu: $$ S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} $$
Cấp số nhân (CSN):
- Số hạng tổng quát: $$ u_n = u_1 q^{n-1} $$
- Tổng n số hạng đầu (q ≠ 1): $$ S_n = u_1 \frac{1-q^n}{1-q} $$
- CSN lùi vô hạn (|q|<1): $$ S = \frac{u_1}{1-q} $$

Giới hạn dãy số:
- Các giới hạn cơ bản:
  $$
  \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\quad
  \lim_{n\to\infty}q^n=0\;(|q|<1) $$
Giới hạn hàm số:
- Các giới hạn đặc biệt:
  $$
  \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad
  \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12
  $$
  $$
  \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad
  \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1
  $$
Hàm số liên tục: Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu:
$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) $$

Định nghĩa: $$ f'(x0) = \lim{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x0} = \lim{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
Bảng đạo hàm cơ bản:
- $$ (x^n)’ = n x^{n-1} $$
- $$ (\sin x)’ = \cos x $$
- $$ (\cos x)’ = -\sin x $$
- $$ (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} $$
- $$ (\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} $$
- $$ (e^x)’ = e^x, \quad (a^x)’ = a^x \ln a $$
- $$ (\ln x)’ = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)’ = \frac{1}{x\ln a} $$
Quy tắc tính đạo hàm:
- Tổng, hiệu, tích, thương: $$ (u \pm v)’ = u’ \pm v’ $$
  $$ (uv)’ = u’v + uv’ $$
  $$ \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} $$
- Đạo hàm hàm hợp: $$ y’_x = y’_u \cdot u’_x $$
Ứng dụng:
- Ý nghĩa hình học: Hệ số góc tiếp tuyến tại M(x₀, f(x₀)) là f'(x₀). Phương trình tiếp tuyến:
  $$ y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) $$
- Tính đơn điệu: f'(x) > 0 trên khoảng (a,b) → f đồng biến; f'(x) < 0 → nghịch biến.
- Cực trị: Nếu f'(x₀)=0 và đổi dấu qua x₀ thì f đạt cực trị tại x₀.
- GTLN – GTNN: Tìm trên đoạn [a,b] bằng cách xét các nghiệm của f'(x)=0 trong (a,b) và giá trị tại a, b.

Quy tắc đếm:
- Quy tắc cộng: Nếu A và B rời nhau thì |A∪B| = |A| + |B|.
- Quy tắc nhân: Công việc gồm k bước, mỗi bước có nᵢ cách → tổng số cách = n₁·n₂·…·nₖ.
Hoán vị: $$ P_n = n! $$
Chỉnh hợp: $$ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} $$
Tổ hợp: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Nhị thức Newton:
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k $$
Xác suất cổ điển:
- Không gian mẫu Ω, biến cố A: $$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} $$
- Công thức cộng: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB) $$
- Xác suất có điều kiện: $$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $$
- Công thức nhân: $$ P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) $$
- Biến cố độc lập: $$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) $$

Quan hệ song song:
- Đường thẳng song song mặt phẳng: d ∥ (P) nếu d không nằm trong (P) và d ∥ một đường thẳng nào đó trong (P).
- Hai mặt phẳng song song: (P) ∥ (Q) nếu (P) chứa hai đường cắt nhau cùng song song với (Q).
Quan hệ vuông góc:
- Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: d ⊥ (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).
- Hai mặt phẳng vuông góc: (P) ⊥ (Q) nếu góc giữa chúng bằng 90°.
Góc:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến.
Khoảng cách:
- Từ điểm đến mặt phẳng: d(M, (P)) = độ dài đoạn vuông góc từ M đến (P).
- Giữa hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.

Khối chóp: $$ V = \frac13 S_{đáy} \cdot h $$
Khối lăng trụ: $$ V = S_{đáy} \cdot h $$
Tỉ số thể tích (chóp tam giác): $$ \frac{V{S.A’B’C’}}{V{S.ABC}} = \frac{SA’}{SA} \cdot \frac{SB’}{SB} \cdot \frac{SC’}{SC} $$

Mặt nón:
- Diện tích xung quanh: $$ S_{xq} = \pi R l $$ (l: đường sinh)
- Thể tích khối nón: $$ V = \frac13 \pi R^2 h $$
Mặt trụ:
- Diện tích xung quanh: $$ S_{xq} = 2\pi R h $$
- Thể tích khối trụ: $$ V = \pi R^2 h $$
Mặt cầu:
- Diện tích mặt cầu: $$ S = 4\pi R^2 $$
- Thể tích khối cầu: $$ V = \frac43 \pi R^3 $$

Vectơ:
- Tọa độ: $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$
- Tích vô hướng: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$
- Tích có hướng: $$ [\vec{a},\vec{b}] = \left( a_2b_3 – a_3b_2,\; a_3b_1 – a_1b_3,\; a_1b_2 – a_2b_1 \right) $$
Phương trình mặt phẳng:
- Dạng tổng quát: $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$
- VTPT $\vec{n} = (A,B,C)$
Phương trình đường thẳng:
- Tham số: $$ \begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} $$
- VTCP $\vec{u} = (a,b,c)$
Phương trình mặt cầu:
- Tâm I(a,b,c), bán kính R: $$ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 $$
Khoảng cách:
- Từ điểm M(x₀,y₀,z₀) đến mặt phẳng (P): $$ d(M,P) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$
- Giữa hai đường thẳng chéo nhau: dùng tích có hướng.