Tóm tắt đề bài:
Hai khinh khí cầu (KKC) bay lên từ cùng một địa điểm (gốc tọa độ O).
- KKC 1:
- Cách điểm xuất phát 2,5 km về phía Nam.
- Cách điểm xuất phát 2 km về phía Đông.
- Cách mặt đất 0,8 km.
- KKC 2:
- Cách điểm xuất phát 1,5 km về phía Bắc.
- Cách điểm xuất phát 3 km về phía Tây.
- Cách mặt đất 0,6 km.
Tìm một vị trí trên mặt đất P(x, y) sao cho tổng khoảng cách từ P đến KKC 1 và KKC 2 là nhỏ nhất.
Biết vị trí P cách địa điểm xuất phát làakm theo hướng Nam vàbkm theo hướng Tây.
Yêu cầu tính tổng2a + 3b.
Bài giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hệ tọa độ Oxyz với điểm xuất phát là gốc tọa độ O(0,0,0).
- Trục Ox: Hướng Đông (+) / Hướng Tây (-)
- Trục Oy: Hướng Bắc (+) / Hướng Nam (-)
- Trục Oz: Hướng lên (+)
1. Xác định tọa độ của hai khinh khí cầu:
-
Khinh khí cầu 1 (A):
- 2,5 km về phía Nam $\implies$ $y_A = -2.5$
- 2 km về phía Đông $\implies$ $x_A = 2$
- Cách mặt đất 0,8 km $\implies$ $z_A = 0.8$
Vậy, tọa độ của KKC 1 là $A(2, -2.5, 0.8)$.
-
Khinh khí cầu 2 (B):
- 1,5 km về phía Bắc $\implies$ $y_B = 1.5$
- 3 km về phía Tây $\implies$ $x_B = -3$
- Cách mặt đất 0,6 km $\implies$ $z_B = 0.6$
Vậy, tọa độ của KKC 2 là $B(-3, 1.5, 0.6)$.
2. Xác định vị trí cần tìm:
Gọi P là vị trí cần tìm trên mặt đất. Vì P nằm trên mặt đất, nên $z_P = 0$.
Theo đề bài, P cách địa điểm xuất phát a km theo hướng Nam và b km theo hướng Tây.
akm theo hướng Nam $\implies$ $y_P = -a$bkm theo hướng Tây $\implies$ $x_P = -b$
Vậy, tọa độ của điểm P là $P(-b, -a, 0)$.
3. Bài toán tối ưu:
Chúng ta cần tìm P sao cho tổng khoảng cách $PA + PB$ nhỏ nhất.
Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian $M(x_1, y_1, z_1)$ và $N(x_2, y_2, z_2)$ được tính bằng công thức:
$$MN = \sqrt{{(x_2 – x_1)}^2 + {(y_2 – y_1)}^2 + {(z_2 – z_1)}^2}$$
-
Tính $PA$:
$$PA = \sqrt{{(2 – (-b))}^2 + {(-2.5 – (-a))}^2 + {(0.8 – 0)}^2}$$
$$PA = \sqrt{{(2 + b)}^2 + {(-2.5 + a)}^2 + (0.8)^2}$$
$$PA = \sqrt{{(2 + b)}^2 + {(a – 2.5)}^2 + 0.64}$$ -
Tính $PB$:
$$PB = \sqrt{{(-3 – (-b))}^2 + {(1.5 – (-a))}^2 + {(0.6 – 0)}^2}$$
$$PB = \sqrt{{(-3 + b)}^2 + {(1.5 + a)}^2 + (0.6)^2}$$
$$PB = \sqrt{{(b – 3)}^2 + {(a + 1.5)}^2 + 0.36}$$
Ta cần tìm $(a, b)$ để hàm số $f(a,b) = PA + PB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán này tương tự việc tìm điểm trên mặt phẳng (mặt đất với $z=0$) có tổng khoảng cách đến hai điểm A’ và B’ là nhỏ nhất, trong đó A’ và B’ là hình chiếu của A và B lên mặt phẳng $z=0$. Tuy nhiên, với $z_A \ne 0$ và $z_B \ne 0$, đây là một bài toán tối ưu khoảng cách trong không gian 3D.
Đối với bài toán tối ưu khoảng cách như này, nếu A và B nằm về cùng một phía của mặt phẳng (mặt đất), điểm P sẽ nằm trên đoạn thẳng nối A’B’. Nhưng ở đây A và B không nằm trên mặt phẳng $z=0$, nên chúng ta phải dùng phương pháp hình học hoặc đạo hàm.
Tuy nhiên, có một cách tiếp cận đơn giản hơn cho dạng bài toán này khi tổng khoảng cách là nhỏ nhất. Nếu A và B nằm về các phía khác nhau so với một mặt phẳng, thì tổng khoảng cách sẽ là nhỏ nhất khi P nằm trên giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng đó. Nhưng ở đây cả hai khinh khí cầu đều ở trên mặt đất ($z_A > 0, z_B > 0$), vậy chúng nằm cùng một phía so với mặt phẳng $z=0$.
Để tổng khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đến hai điểm cố định trong không gian là nhỏ nhất, điểm đó phải là hình chiếu của điểm thẳng hàng với hai điểm đó (nếu có) hoặc là hình chiếu của điểm đó trên đường nối hai điểm.
Trong trường hợp tổng khoảng cách từ một điểm trên một đường (hoặc mặt phẳng) đến hai điểm cố định là nhỏ nhất, điểm đó nằm trên đường thẳng nối hai điểm (có tính đến điểm đối xứng qua đường hoặc mặt phẳng).
Tuy nhiên, nhìn vào cấu trúc của các bài toán tương tự, điểm P cần tìm thường nằm trên đường thẳng nối hình chiếu của A và B lên mặt phẳng.
Gọi $A'(2, -2.5, 0)$ và $B'(-3, 1.5, 0)$ là hình chiếu của A và B lên mặt đất.
Nếu P nằm trên đoạn thẳng A’B’, thì $PA’ + PB’$ sẽ nhỏ nhất và bằng $A’B’$.
Khi đó, $P(-b, -a, 0)$ sẽ nằm trên đoạn thẳng nối $A'(2, -2.5, 0)$ và $B'(-3, 1.5, 0)$.
Tuy nhiên, chúng ta đang tìm $PA + PB$ chứ không phải $PA’ + PB’$.
Bài toán “tổng khoảng cách nhỏ nhất” thường liên quan đến phản xạ (ví dụ: đường đi của ánh sáng). Nếu mặt đất là một mặt phẳng phản xạ, thì điểm P sẽ là điểm mà tia sáng đi từ A đến P rồi phản xạ đến B. Trong trường hợp này, ta sẽ lấy điểm đối xứng của một trong hai điểm qua mặt phẳng.
Giả sử ta lấy $A_0(2, -2.5, -0.8)$ là điểm đối xứng của $A(2, -2.5, 0.8)$ qua mặt phẳng $z=0$.
Khi đó, $PA = PA_0$. Ta cần tìm $P$ trên mặt phẳng $z=0$ sao cho $PA_0 + PB$ nhỏ nhất.
Theo bất đẳng thức tam giác, $PA_0 + PB \ge A_0B$. Dấu bằng xảy ra khi $P$ nằm trên đoạn thẳng $A_0B$.
Vậy, $P$ là giao điểm của đoạn thẳng $A_0B$ với mặt phẳng $z=0$.
Tọa độ của $A_0$ là $(2, -2.5, -0.8)$.
Tọa độ của $B$ là $(-3, 1.5, 0.6)$.
Vectơ $\vec{A_0B} = (-3 – 2, 1.5 – (-2.5), 0.6 – (-0.8)) = (-5, 4, 1.4)$.
Phương trình đường thẳng $A_0B$ là:
$$(x, y, z) = A_0 + t \cdot \vec{A_0B}$$
$$(x, y, z) = (2, -2.5, -0.8) + t(-5, 4, 1.4)$$
Với $0 \le t \le 1$.
Điểm P nằm trên mặt phẳng $z=0$, nên ta thế $z=0$ vào phương trình đường thẳng:
$$-0.8 + 1.4t = 0$$
$$1.4t = 0.8$$
$$t = \frac{0.8}{1.4} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$$
Thay $t = \frac{4}{7}$ vào phương trình để tìm tọa độ của P:
$$x_P = 2 + \frac{4}{7}(-5) = 2 – \frac{20}{7} = \frac{14 – 20}{7} = -\frac{6}{7}$$
$$y_P = -2.5 + \frac{4}{7}(4) = -\frac{5}{2} + \frac{16}{7} = \frac{-35 + 32}{14} = -\frac{3}{14}$$
$$z_P = 0$$
Vậy, tọa độ của điểm P là $\left(-\frac{6}{7}, -\frac{3}{14}, 0\right)$.
Theo đề bài, $P(-b, -a, 0)$. So sánh hai tọa độ của P:
$$-b = -\frac{6}{7} \implies b = \frac{6}{7}$$
$$-a = -\frac{3}{14} \implies a = \frac{3}{14}$$
4. Tính giá trị $2a + 3b$:
Thay $a = \frac{3}{14}$ và $b = \frac{6}{7}$ vào biểu thức $2a + 3b$:
$$2a + 3b = 2\left(\frac{3}{14}\right) + 3\left(\frac{6}{7}\right)$$
$$= \frac{6}{14} + \frac{18}{7}$$
$$= \frac{3}{7} + \frac{36}{14} \cdot \frac{2}{2}$$
$$= \frac{3}{7} + \frac{18}{7}$$
$$= \frac{3 + 18}{7} = \frac{21}{7} = 3$$
Kết luận:
Tổng $2a + 3b = 3$.