Tóm tắt đề bài:
- Con cá hồi bơi ngược dòng quãng đường $S = 300\text{ km}$.
- Vận tốc dòng nước $v_{nước} = 6\text{ km/h}$.
- Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v\text{ km/h}$.
- Công thức năng lượng tiêu hao $E(v) = cv^3t$, trong đó $c$ là hằng số dương, $t$ là thời gian bơi.
- Yêu cầu: Tìm $v$ để năng lượng tiêu hao $E(v)$ là ít nhất.
Phân tích và giải:
Để năng lượng $E(v)$ tiêu hao ít nhất, ta cần tìm cực tiểu của hàm số $E(v)$.
Trước tiên, ta cần biểu diễn $t$ theo $v$.
Khi cá bơi ngược dòng, vận tốc thực tế của cá so với bờ là:
$$v{thực} = v – v{nước}$$
Vì cá bơi ngược dòng, nên vận tốc của cá phải lớn hơn vận tốc dòng nước để có thể di chuyển lên phía trước, tức là $v > v_{nước} \implies v > 6$.
Thời gian để cá bơi hết quãng đường $S$ là:
$$t = \frac{S}{v_{thực}} = \frac{300}{v – 6}$$
Thay $t$ vào công thức năng lượng tiêu hao:
$$E(v) = c \cdot v^3 \cdot \frac{300}{v – 6} = \frac{300c v^3}{v – 6}$$
Ta cần tìm giá trị của $v$ ($v > 6$) để $E(v)$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Để tìm cực tiểu của hàm số, ta tính đạo hàm bậc nhất của $E(v)$ theo $v$ và cho bằng 0.
Đặt $f(v) = \frac{v^3}{v – 6}$. Ta có $E(v) = 300c \cdot f(v)$. Để $E(v)$ nhỏ nhất thì $f(v)$ nhỏ nhất.
Tính đạo hàm của $f(v)$:
$$f'(v) = \frac{(v^3)'(v – 6) – v^3(v – 6)’}{(v – 6)^2}$$
$$f'(v) = \frac{3v^2(v – 6) – v^3(1)}{(v – 6)^2}$$
$$f'(v) = \frac{3v^3 – 18v^2 – v^3}{(v – 6)^2}$$
$$f'(v) = \frac{2v^3 – 18v^2}{(v – 6)^2}$$
$$f'(v) = \frac{2v^2(v – 9)}{(v – 6)^2}$$
Đặt $f'(v) = 0$:
$$\frac{2v^2(v – 9)}{(v – 6)^2} = 0$$
Vì $v > 6$, nên $v^2 \neq 0$ và $(v – 6)^2 \neq 0$.
Do đó, $v – 9 = 0 \implies v = 9$.
Bảng biến thiên của $f(v)$ với $v > 6$:
| $v$ | $(6$ | $9$ | $+\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $v – 9$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $2v^2$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $(v – 6)^2$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $f'(v)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(v)$ | $\searrow$ | Cực tiểu | $\nearrow$ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $f(v)$ (và do đó $E(v)$) đạt giá trị nhỏ nhất khi $v = 9$.
Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên, để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là $9\text{ km/h}$.
Đáp án: $v = 9\text{ km/h}$