Tuyển tập bài tập Toán lớp 11 và 12: Hình không gian, Cấp số cộng, Thống kê, Bài toán cực trị | giải bài tập AI

Bắt đầu giải:
Tóm tắt dữ kiện:

• Câu 1: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (ABB’A’) và (CDD’C’).
• Câu 2: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = \frac{1}{3}$ và $u_3 = 26$. Tìm công sai $d$.
• Câu 3: Hình chóp SABC có $SA \perp (ABC)$, tam giác ABC vuông tại B. Xác định mệnh đề sai.
• Câu 4: Túi có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ.
• Câu 5: Hàm số $y = \frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài giải chi tiết:
Câu 1:

1. Mặt phẳng $(ABB’A’)$ và $(CDD’C’)$ là hai mặt phẳng song song.
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung hoặc khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3. Chọn điểm A trên mặt phẳng $(ABB’A’)$.
4. Điểm D trên mặt phẳng $(CDD’C’)$.
5. Đoạn thẳng AD là một cạnh của hình vuông đáy, vuông góc với cả hai mặt phẳng trên.
6. Độ dài cạnh của hình lập phương là 1.
7. Vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB’A’)$ và $(CDD’C’)$ là độ dài cạnh AD, bằng 1.

Câu 2:

1. Sử dụng công thức cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d$.
2. Ta có $u_3 = u_1 + (3-1)d = u_1 + 2d$.
3. Thay giá trị đề bài: $26 = \frac{1}{3} + 2d$.
4. Chuyển $\frac{1}{3}$ sang vế trái: $26 – \frac{1}{3} = 2d$.
5. Tính toán: $\frac{78 – 1}{3} = 2d \Rightarrow \frac{77}{3} = 2d$.
6. Chia cả hai vế cho 2 để tìm $d$: $d = \frac{77}{3 \times 2} = \frac{77}{6}$.
7. Kiểm tra lại các đáp án, có vẻ đề bài hoặc đáp án có sai sót vì $\frac{77}{6}$ không có trong các lựa chọn. Tuy nhiên, nếu đề bài là $u_3 = 26$ và $u_1 = 1/3$ thì kết quả là $77/6$. Giả sử đề bài có nhầm lẫn và $u_1$ hoặc $u_3$ có giá trị khác.
8. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn, ta có thể kiểm tra ngược lại:
   • Nếu $d = \frac{11}{3}$, $u_3 = \frac{1}{3} + 2 \times \frac{11}{3} = \frac{1+22}{3} = \frac{23}{3} \neq 26$.
   • Nếu $d = \frac{10}{3}$, $u_3 = \frac{1}{3} + 2 \times \frac{10}{3} = \frac{1+20}{3} = \frac{21}{3} = 7 \neq 26$.
   • Nếu $d = \frac{3}{10}$, $u_3 = \frac{1}{3} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{1}{3} + \frac{6}{10} = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} = \frac{5+9}{15} = \frac{14}{15} \neq 26$.
   • Nếu $d = \frac{3}{11}$, $u_3 = \frac{1}{3} + 2 \times \frac{3}{11} = \frac{1}{3} + \frac{6}{11} = \frac{11+18}{33} = \frac{29}{33} \neq 26$.
     Có khả năng $u_3=26$ là $u_3 = 7$. Nếu $u_3 = 7$, thì $7 = 1/3 + 2d \Rightarrow 7 – 1/3 = 2d \Rightarrow 20/3 = 2d \Rightarrow d = 10/3$. Đáp án B.
     Nếu $u_3 = 11$, thì $11 = 1/3 + 2d \Rightarrow 11 – 1/3 = 2d \Rightarrow 32/3 = 2d \Rightarrow d = 16/3$.
     Nếu $u_3 = 13$, thì $13 = 1/3 + 2d \Rightarrow 13 – 1/3 = 2d \Rightarrow 38/3 = 2d \Rightarrow d = 19/3$.
     Nếu đề bài là $u_1=1/3$ và $u_3=7$, thì $d=10/3$. Tuy nhiên, theo đề bài là $u_3=26$. Ta sẽ tính toán lại một lần nữa.
     $u_3 = u_1 + 2d \implies 26 = \frac{1}{3} + 2d \implies 2d = 26 – \frac{1}{3} = \frac{78-1}{3} = \frac{77}{3} \implies d = \frac{77}{6}$.
     Do các đáp án không có $\frac{77}{6}$, ta sẽ chọn đáp án gần nhất hoặc kiểm tra lại đề bài. Nếu giả định $u_3 = 7$, thì $d = 10/3$. Dựa vào các đáp án, có khả năng đề bài có sai sót. Tuy nhiên, nếu ta phải chọn một đáp án, và giả sử có nhầm lẫn trong đề bài mà $u_3$ thực sự là một giá trị khác dẫn đến một trong các đáp án, ta sẽ tạm bỏ qua câu này nếu không thể xác định. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu giải chi tiết.
     Giả sử đề bài có nhầm lẫn và $u_3 = 7$. Khi đó:
     $7 = \frac{1}{3} + 2d$
     $2d = 7 – \frac{1}{3} = \frac{21-1}{3} = \frac{20}{3}$
     $d = \frac{10}{3}$. Vậy, đáp án B.

Câu 3:

1. Ta có $SA \perp (ABC)$. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng (ABC) đi qua A.
2. Xét mặt phẳng (SAB). Ta có $SA \perp AB$ và $AB$ là giao tuyến của (SAB) và (ABC). Vì $SA \perp AB$ và $SA \perp BC$ (do $SA \perp (ABC)$ và $BC \subset (ABC)$), nếu $AB \perp BC$ thì mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABC). Tuy nhiên, ta không có thông tin $AB \perp BC$.
3. Xét mệnh đề A: $(SAB) \perp (ABC)$. Để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Ta có $SA \in (SAB)$ và $SA \perp (ABC)$, nên $(SAB) \perp (ABC)$. Mệnh đề A là đúng.
4. Xét mệnh đề C: $(SAC) \perp (ABC)$. Tương tự, $SA \in (SAC)$ và $SA \perp (ABC)$, nên $(SAC) \perp (ABC)$. Mệnh đề C là đúng.
5. Xét mệnh đề D: $(SAB) \perp (SBC)$. Ta có $SB$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(SBC)$. Vì $SA \perp AB$, $SA \perp BC$. Chúng ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong (SAB) vuông góc với (SBC) hoặc ngược lại hay không. Điều kiện tam giác ABC vuông tại B nghĩa là $AB \perp BC$. Vì $SA \perp BC$, $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $BC \perp (SAB)$. Vì $BC \perp (SAB)$, và $BC$ cũng thuộc mặt phẳng (SBC) không đúng. $BC$ là một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB). Do đó, $(SBC)$ không thể vuông góc với $(SAB)$ theo cách này. Mệnh đề D là $(SAB) \perp (SBC)$. Ta có $BC \perp (SAB)$. $BC$ không phải là giao tuyến.
6. Xem lại mệnh đề D: $(SAB) \perp (SBC)$. Giao tuyến là SB. Ta có $AB \perp BC$. Vì $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp BC$. Do $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau tại A trong mặt phẳng (SAB). Suy ra $BC \perp (SAB)$. Vì $BC \perp (SAB)$, và $BC \subset (SBC)$, suy ra $(SBC) \perp (SAB)$. Vậy mệnh đề D là đúng.
7. Xét mệnh đề B: $(SAC) \perp (SBC)$. Giao tuyến là SC. Ta có $AC$ là cạnh huyền của tam giác vuông ABC. $SA \perp AC$ (do $SA \perp (ABC)$). Chúng ta cần tìm một đường thẳng trong (SAC) vuông góc với (SBC) hoặc ngược lại.
8. Vì $AB \perp BC$ và $SA \perp BC$, nên $BC \perp (SAB)$.
9. Vì $SA \perp AC$ và $AB \perp AC$ (do tam giác ABC vuông tại B), nên $AC \perp SA$ và $AC \perp AB$. Do đó, $AC \perp (SAB)$. Suy ra $(SAC) \perp (SAB)$.
10. Từ các kết quả trên, ta có $(SAB) \perp (ABC)$, $(SAC) \perp (ABC)$, $(SBC) \perp (SAB)$.
11. Xét $(SAC) \perp (SBC)$. Giao tuyến là SC. Ta có $SA \perp AC$ và $SB \perp BC$ (nếu tam giác SBC vuông tại B, điều này không chắc).
12. Kiểm tra lại các đáp án:
    • A: $(SAB) \perp (ABC)$. Đúng, vì $SA \perp (ABC)$.
    • C: $(SAC) \perp (ABC)$. Đúng, vì $SA \perp (ABC)$.
    • D: $(SAB) \perp (SBC)$. Sai. Giao tuyến là SB. Ta có $AB \perp BC$. $SA \perp BC$. Vì $BC \perp SA$ và $BC \perp AB$, nên $BC \perp (SAB)$. Do đó $(SBC) \perp (SAB)$. Vì vậy, $(SAB) \perp (SBC)$ là đúng. Ah, có lỗi suy luận ở bước 6. Nếu $BC \perp (SAB)$, thì mặt phẳng chứa $BC$ là $(SBC)$ sẽ vuông góc với $(SAB)$. Vậy D là đúng.
    • B: $(SAC) \perp (SBC)$. Giao tuyến là SC. Ta có $AC \perp (SAB)$. Điều này có nghĩa là $AC$ vuông góc với mọi đường trong (SAB), bao gồm cả SB. Vậy $AC \perp SB$.
      Ta có $SA \perp AC$. Ta cần tìm một cái gì đó vuông góc với SC.
      Nếu xét tính vuông góc của $(SAC)$ và $(SBC)$, giao tuyến là $SC$. Ta cần tìm một vector pháp tuyến của $(SAC)$ và $(SBC)$.
      Do $SA \perp AC$ và $AB \perp AC$, nên $AC \perp (SAB)$.
      Vì $SA \perp (ABC)$, nên $SA \perp AB$, $SA \perp AC$, $SA \perp BC$.
      Tam giác ABC vuông tại B: $AB \perp BC$.
    • $(SAB) \perp (ABC)$ vì $SA \perp (ABC)$. Đúng.
    • $(SAC) \perp (ABC)$ vì $SA \perp (ABC)$. Đúng.
    • $(SBC) \perp (SAB)$ vì $BC \perp (SAB)$ (do $BC \perp SA$ và $BC \perp AB$). Đúng.
    • Xét $(SAC) \perp (SBC)$. Giao tuyến là SC. Ta có $AC \perp (SAB)$.
      Vì $AC \perp (SAB)$, nên $AC \perp SB$.
      Ta cũng có $SA \perp BC$.
      Xét phép chiếu.
      Nếu mệnh đề B sai, ta chọn B.
      Dựa vào phân tích, A, C, D đều đúng. Vậy mệnh đề sai là B.

Câu 4:

1. Tổng số bi trong túi là $6 + 4 = 10$ bi.
2. Số cách lấy ngẫu nhiên 2 bi từ 10 bi là tổ hợp chập 2 của 10: $\binom{10}{2}$.
3. $\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
4. Số cách lấy được cả hai bi đều đỏ là tổ hợp chập 2 của 4 bi đỏ: $\binom{4}{2}$.
5. $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
6. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là $\frac{\text{Số cách lấy 2 bi đỏ}}{\text{Tổng số cách lấy 2 bi}} = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{2}}$.
7. Xác suất = $\frac{6}{45}$.
8. Rút gọn phân số: $\frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.

Câu 5:

1. Để tìm điểm cực trị của hàm số $y = \frac{2x+3}{x+1}$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số.
2. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: Nếu $y = \frac{u}{v}$, thì $y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$.
3. Trong trường hợp này, $u = 2x+3$ và $v = x+1$.
4. Ta có $u’ = 2$ và $v’ = 1$.
5. Tính đạo hàm: $y’ = \frac{2(x+1) – (2x+3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 – 2x – 3}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$.
6. Điểm cực trị xảy ra khi $y’ = 0$ hoặc $y’$ không xác định.
7. Ta có $y’ = \frac{-1}{(x+1)^2}$.
8. Phương trình $y’ = 0 \implies \frac{-1}{(x+1)^2} = 0$, phương trình này vô nghiệm vì tử số là -1.
9. Đạo hàm $y’$ không xác định khi mẫu số bằng 0: $(x+1)^2 = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$.
10. Tuy nhiên, $x = -1$ là điểm mà hàm số không xác định (do mẫu số bằng 0), nên nó không thể là điểm cực trị.
11. Vì đạo hàm $y’$ luôn âm trên các khoảng xác định của nó ($y’ < 0$ với mọi $x \neq -1$), hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Do đó, hàm số không có điểm cực trị nào.

Kiểm tra lại:

• Câu 1: Khoảng cách giữa hai mặt song song của hình lập phương cạnh 1 là 1. Đúng.
• Câu 2: Nếu đề bài là $u_1=1/3, u_3=7$, thì $d=10/3$. Nếu đề bài là $u_1=1/3, u_3=26$, thì $d=77/6$. Dựa trên các đáp án, có khả năng đề bài đã có sai sót hoặc yêu cầu kiểm tra lại. Tuy nhiên, nếu chấp nhận đề bài như in, và giả định có sai sót, việc suy ra $d=10/3$ dựa trên khả năng đề bài nhầm $u_3$ thành 7 là một suy luận hợp lý trong bối cảnh trắc nghiệm. Tuy nhiên, nếu giải chính xác theo đề bài, không có đáp án nào đúng. Trong các lựa chọn, đáp án B ($d = 10/3$) là có khả năng xảy ra nhất nếu có sai sót ở giá trị $u_3$.
• Câu 3: Phân tích về các mặt phẳng vuông góc cho thấy A, C, D đều đúng. Do đó, B phải là mệnh đề sai.
• Câu 4: Tính toán xác suất: $\binom{4}{2}/\binom{10}{2} = 6/45 = 2/15$. Đúng.
• Câu 5: Đạo hàm $y’ = -1/(x+1)^2$ luôn âm, hàm số không có điểm cực trị. Đúng.

Do đó, dựa trên phân tích chi tiết, có khả năng cao câu 2 có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Tuy nhiên, nếu buộc phải chọn đáp án theo logic suy luận về sai sót, B là lựa chọn hợp lý. Đối với các câu còn lại, các bước giải và kết quả đều chính xác.
— Answer —

Bắt đầu giải:
Tóm tắt dữ kiện:

• Câu 1: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (ABB’A’) và (CDD’C’).
• Câu 2: Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = \frac{1}{3}$ và $u_3 = 26$. Tìm công sai $d$.
• Câu 3: Hình chóp SABC có $SA \perp (ABC)$, tam giác ABC vuông tại B. Xác định mệnh đề sai.
• Câu 4: Túi có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi đều đỏ.
• Câu 5: Hàm số $y = \frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài giải chi tiết:
Câu 1:

1. Mặt phẳng $(ABB’A’)$ và $(CDD’C’)$ là hai mặt phẳng song song của hình lập phương.
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này chính là độ dài cạnh của hình lập phương.
3. Do cạnh của hình lập phương bằng 1, nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 1.

Câu 2:

1. Trong một cấp số cộng, số hạng thứ $n$ được tính theo công thức: $$u_n = u_1 + (n-1)d$$
2. Áp dụng công thức cho $u_3$: $$u_3 = u_1 + (3-1)d = u_1 + 2d$$
3. Thay các giá trị đã cho vào phương trình: $$26 = \frac{1}{3} + 2d$$
4. Giải phương trình để tìm $d$:
   $$2d = 26 – \frac{1}{3}$$
   $$2d = \frac{78 – 1}{3}$$
   $$2d = \frac{77}{3}$$
   $$d = \frac{77}{6}$$
5. Kiểm tra các đáp án cho thấy không có đáp án nào trùng với kết quả $\frac{77}{6}$. Tuy nhiên, nếu giả định có sai sót trong đề bài và $u_3 = 7$ (thay vì 26) thì:
   $$7 = \frac{1}{3} + 2d$$
   $$2d = 7 – \frac{1}{3} = \frac{21-1}{3} = \frac{20}{3}$$
   $$d = \frac{10}{3}$$
   Đáp án này trùng với lựa chọn B. Với giả định này, ta chọn B.

Câu 3:

1. Vì $SA \perp (ABC)$, nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A$.
2. Mệnh đề A: $(SAB) \perp (ABC)$ vì $SA \in (SAB)$ và $SA \perp (ABC)$. Mệnh đề này đúng.
3. Mệnh đề C: $(SAC) \perp (ABC)$ vì $SA \in (SAC)$ và $SA \perp (ABC)$. Mệnh đề này đúng.
4. Mệnh đề D: $(SBC) \perp (SAB)$. Vì $ABC$ vuông tại $B$, nên $AB \perp BC$. Do $SA \perp (ABC)$, suy ra $SA \perp BC$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, nên $BC \perp (SAB)$. Do đó, mặt phẳng $(SBC)$ chứa $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$. Mệnh đề này đúng.
5. Mệnh đề B: $(SAC) \perp (SBC)$. Giao tuyến là $SC$. Để hai mặt phẳng vuông góc, cần có một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Do $AB \perp BC$ và $AB \perp SA$, nên $AB \perp (SAC)$. Tuy nhiên, $AB$ không thuộc $(SBC)$. Xét $AC \perp (SAB)$ do $AC \perp SA$ và $AC \perp AB$. Vậy $AC \perp SB$. Điều này không trực tiếp chứng minh hoặc bác bỏ $(SAC) \perp (SBC)$. Tuy nhiên, dựa trên việc A, C, D đều đúng, mệnh đề B là sai.

Câu 4:

1. Tổng số bi trong túi là $6$ bi xanh + $4$ bi đỏ = $10$ bi.
2. Số cách chọn ngẫu nhiên $2$ bi từ $10$ bi là:
   $$\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$
3. Số cách chọn $2$ bi đỏ từ $4$ bi đỏ là:
   $$\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$
4. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:
   $$P(\text{2 bi đỏ}) = \frac{\text{Số cách chọn 2 bi đỏ}}{\text{Tổng số cách chọn 2 bi}} = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{6}{45}$$
5. Rút gọn phân số ta được:
   $$\frac{6}{45} = \frac{2}{15}$$

Câu 5:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x+3}{x+1}$. Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức $y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$.
2. Đặt $u = 2x+3$ và $v = x+1$. Suy ra $u’ = 2$ và $v’ = 1$.
3. Tính đạo hàm:
   $$y’ = \frac{2(x+1) – (2x+3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 – 2x – 3}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$$
4. Điểm cực trị của hàm số xảy ra khi $y’ = 0$ hoặc $y’$ không xác định.
5. Phương trình $y’ = 0$ tương đương với $\frac{-1}{(x+1)^2} = 0$, phương trình này vô nghiệm.
6. Đạo hàm $y’$ không xác định khi mẫu số bằng 0, tức là $(x+1)^2 = 0$, suy ra $x = -1$. Tuy nhiên, $x = -1$ không thuộc tập xác định của hàm số, nên đây không phải là điểm cực trị.
7. Vì $y’ = \frac{-1}{(x+1)^2} < 0$ với mọi $x \neq -1$, hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Do đó, hàm số không có điểm cực trị nào.