Tóm tắt dữ kiện
Yêu cầu tổng hợp toàn bộ công thức Toán học lớp 10 phục vụ ôn tập. Cần trình bày ngắn gọn, đi thẳng vào vấn đề, sử dụng Markdown và LaTeX cho công thức dạng $$...$$.
Nội dung
Đại số
- Mệnh đề & Tập hợp: Giao (∩), hợp (∪), hiệu ().
- Hàm số bậc nhất & bậc hai:
- Hàm số bậc nhất: $$y = ax + b (a \neq 0)$$
- Hàm số bậc hai: $$y = ax^{2} + bx + c (a \neq 0)$$
- Đỉnh Parabol: $$I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$$
- Trục đối xứng: $$x = -\frac{b}{2a}$$
- Phương trình & Bất phương trình:
- Dấu nhị thức bậc nhất: Quy tắc “trái trái, phải cùng” (a>0).
- Dấu tam thức bậc hai: Cho $$f(x) = ax^{2} + bx + c$$ với $$\Delta = b^{2} – 4ac$$
- Δ<0: f(x) cùng dấu a.
- Δ=0: f(x) cùng dấu a (trừ nghiệm kép).
- Δ>0: f(x) trái dấu a trong khoảng 2 nghiệm, cùng dấu a ngoài khoảng.
- Bất phương trình tích/thương: Lập bảng xét dấu.
- Phương trình quy về bậc nhất/bậc hai:
- Phương trình chứa ẩn trong dấu căn: $$\sqrt{A} = B \iff \begin{cases} B \ge 0 \ A = B^{2} \end{cases}$$
- Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: $$|A| = B \iff \begin{cases} B \ge 0 \ A = \pm B \end{cases}$$
Hình học & Lượng giác
- Hệ thức lượng trong tam giác:
- Định lý Cosin: $$a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc\cos A$$
- Định lý Sin: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
- Công thức diện tích:
- $$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
- (p: nửa chu vi, r: bán kính nội tiếp, R: bán kính ngoại tiếp)
- Độ dài trung tuyến: $$m_{a}^{2} = \frac{b^{2}+c^{2}}{2} – \frac{a^{2}}{4}$$
- Vectơ & Tọa độ:
- Tọa độ vectơ: $$\vec{u} = (x; y)$$
- Tích vô hướng: $$\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos(\vec{a}, \vec{b}) = x{1}x{2} + y{1}y{2}$$
- Độ dài vectơ: $$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$
- Khoảng cách hai điểm: $$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^{2} + (y_B – y_A)^{2}}$$
- Góc giữa hai vectơ: $$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x{1}x{2} + y{1}y{2}}{\sqrt{x{1}^{2}+y{1}^{2}} \cdot \sqrt{x{2}^{2}+y{2}^{2}}}$$
- Tọa độ trung điểm: $$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
- Tọa độ trọng tâm G: $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$
- Đường thẳng:
- Dạng tổng quát: $$ax + by + c = 0$$
- Vectơ pháp tuyến (VTPT): $$\vec{n} = (a; b)$$
- Vectơ chỉ phương (VTCP): $$\vec{u} = (-b; a) \text{ hoặc } (b; -a)$$
- Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: $$d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
- Góc giữa hai đường thẳng: $$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^{2} + b_1^{2}} \cdot \sqrt{a_2^{2} + b_2^{2}}}$$
- Đường tròn:
- Dạng tổng quát: $$x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c = 0$$ (tâm I(a;b), bán kính R = $$\sqrt{a^{2} + b^{2} – c}$$)
- Phương trình tiếp tuyến tại M(x₀, y₀): $$(x_0 – a)(x – x_0) + (y_0 – b)(y – y_0) = 0$$
Thống kê & Xác suất
- Số trung bình: $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$$
- Phương sai & Độ lệch chuẩn:
- Phương sai: $$s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i – \bar{x})^{2}$$
- Độ lệch chuẩn: $$s = \sqrt{s^{2}}$$
- Quy tắc đếm:
- Quy tắc cộng: Công việc A có m cách, B có n cách, A và B không trùng nhau → có m + n cách.
- Quy tắc nhân: Công đoạn 1 có m cách, ứng mỗi cách có n cách cho công đoạn 2 → có m.n cách.
- Xác suất:
- Công thức cổ điển: $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
- Xác suất biến cố đối: $$P(\bar{A}) = 1 – P(A)$$