Phân tích đề bài
Đây là bài toán thực tế yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số mô tả thu nhập.
- Dữ kiện:
- Tổng số căn hộ: 50.
- Giá thuê ban đầu: 2.000.000 đồng/tháng.
- Số căn hộ có người thuê ở giá ban đầu: 50 căn (tức là không có căn nào trống).
- Quy luật thay đổi: Cứ tăng giá thuê mỗi căn 100.000 đồng/tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống.
- Yêu cầu: Tìm giá thuê mỗi căn hộ để công ty có thu nhập cao nhất (đơn vị triệu đồng).
Xác định phương pháp giải
Bài toán có thể mô tả bằng một hàm số, trong đó biến là số lần tăng giá (hoặc giá thuê). Để tìm thu nhập cao nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất (cực trị) của hàm số bậc hai (hoặc bậc). Đối với học sinh THCS/THPT, có thể dùng đạo hàm (nếu đã học) hoặc phương pháp hoàn thiện bình phương. Ta sẽ dùng phương pháp hoàn thiện bình phương cho độ tuổi này vì nó trực quan và dễ hiểu hơn, không yêu cầu kiến thức đạo hàm.
Tóm tắt dữ kiện
- Số căn hộ ban đầu: $N_0 = 50$
- Giá thuê ban đầu: $P_0 = 2.000.000$ đồng
- Số căn hộ trống khi tăng giá: $2$ căn/lần tăng giá
- Mỗi lần tăng giá: $100.000$ đồng
Lời giải
Bước 1: Đặt biến số
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100.000 đồng ($x \ge 0$, $x$ là số nguyên).
Bước 2: Biểu diễn giá thuê và số căn hộ cho thuê theo $x$
-
Giá thuê mỗi căn hộ theo $x$:
Mỗi lần tăng giá 100.000 đồng, nên sau $x$ lần tăng, giá thuê sẽ là:
$$P(x) = P_0 + x \cdot 100.000 = 2.000.000 + 100.000x \text{ (đồng)}$$ -
Số căn hộ có người thuê theo $x$:
Mỗi lần tăng giá, có 2 căn hộ bị bỏ trống. Sau $x$ lần tăng, số căn hộ bị bỏ trống là $2x$.
Số căn hộ còn lại có người thuê là:
$$N(x) = N_0 – 2x = 50 – 2x \text{ (căn)}$$
Điều kiện: $N(x) \ge 0 \Rightarrow 50 – 2x \ge 0 \Rightarrow 2x \le 50 \Rightarrow x \le 25$.
Vậy $0 \le x \le 25$ và $x$ là số nguyên.
Bước 3: Xây dựng hàm thu nhập
Thu nhập hàng tháng ($T(x)$) là tích của giá thuê mỗi căn và số căn hộ có người thuê:
$$T(x) = P(x) \cdot N(x)$$
$$T(x) = (2.000.000 + 100.000x)(50 – 2x)$$
Để đơn giản hóa phép tính, ta đổi đơn vị giá thành triệu đồng: $P_0 = 2$ triệu đồng, mỗi lần tăng giá $0,1$ triệu đồng.
$$T(x) = (2 + 0,1x)(50 – 2x) \text{ (triệu đồng)}$$
Bước 4: Khai triển và tìm giá trị lớn nhất của hàm thu nhập
$$T(x) = 2(50 – 2x) + 0,1x(50 – 2x)$$
$$T(x) = 100 – 4x + 5x – 0,2x^2$$
$$T(x) = -0,2x^2 + x + 100$$
Đây là một hàm số bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a = -0,2 < 0$, nên đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống, do đó có giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Hoành độ đỉnh của parabol là $x = -\frac{b}{2a}$.
$$x = -\frac{1}{2(-0,2)} = -\frac{1}{-0,4} = \frac{1}{0,4} = 2,5$$
Bước 5: Kiểm tra điều kiện $x$ và xác định giá trị $x$ tối ưu
Vì $x$ là số lần tăng giá nên phải là số nguyên. Giá trị $x = 2,5$ nằm trong khoảng $0 \le x \le 25$. Ta xét các giá trị nguyên gần nhất là $x=2$ và $x=3$.
- Với $x=2$:
$T(2) = -0,2(2^2) + 2 + 100 = -0,2 \cdot 4 + 2 + 100 = -0,8 + 2 + 100 = 101,2$ (triệu đồng) - Với $x=3$:
$T(3) = -0,2(3^2) + 3 + 100 = -0,2 \cdot 9 + 3 + 100 = -1,8 + 3 + 100 = 101,2$ (triệu đồng)
Có thể thấy, $T(2) = T(3)$ vì đỉnh của parabol là $x=2.5$ nằm chính giữa 2 và 3.
Điều này có nghĩa là công ty sẽ thu được lợi nhuận cao nhất khi tăng giá 2 lần hoặc 3 lần.
Để làm tròn lên cho câu hỏi về giá, ta có thể chọn $x=3$.
Bước 6: Tính giá thuê mỗi căn và thu nhập cao nhất
Với $x=2$ hoặc $x=3$ (chọn $x=3$ để tính giá trị cụ thể theo đề bài hỏi “giá mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng”):
- Số lần tăng giá: $x = 3$
- Giá thuê mỗi căn hộ: $P(3) = 2.000.000 + 100.000 \cdot 3 = 2.000.000 + 300.000 = 2.300.000$ đồng.
- Giá này tính theo triệu đồng là $2,3$ triệu đồng.
- Thu nhập cao nhất: $T(3) = 101,2$ triệu đồng.
Bước 7: Kết luận
Để có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá là $2.300.000$ đồng (tương đương $2,3$ triệu đồng).
Kiểm tra lại đáp án
- Với $x=2$: Giá thuê $2.200.000$ đồng. Số căn hộ $50 – 2 \cdot 2 = 46$ căn. Thu nhập $2.200.000 \cdot 46 = 101.200.000$ đồng = $101,2$ triệu đồng.
- Với $x=3$: Giá thuê $2.300.000$ đồng. Số căn hộ $50 – 2 \cdot 3 = 44$ căn. Thu nhập $2.300.000 \cdot 44 = 101.200.000$ đồng = $101,2$ triệu đồng.
- Với $x=1$: Giá thuê $2.100.000$ đồng. Số căn hộ $50 – 2 \cdot 1 = 48$ căn. Thu nhập $2.100.000 \cdot 48 = 100.800.000$ đồng.
- Với $x=4$: Giá thuê $2.400.000$ đồng. Số căn hộ $50 – 2 \cdot 4 = 42$ căn. Thu nhập $2.400.000 \cdot 42 = 100.800.000$ đồng.
Các giá trị này đều nhỏ hơn hoặc bằng 101,2 triệu đồng, cho thấy $x=2$ hoặc $x=3$ thực sự cho thu nhập cao nhất.
Đáp án hợp lý.
Cảnh báo sai dữ kiện
Đề bài không có khả năng sai dữ kiện.
Trả lời: Giá mỗi căn hộ là $2,3$ triệu đồng.