Category: 234
Tóm tắt dữ kiện
Gọi điểm xuất phát là gốc tọa độ (O), chọn hệ trục:
- Trục (Ox): hướng Đông
- Trục (Oy): hướng Bắc
- Trục (Oz): hướng lên trên
Khi đó:
- Khinh khí cầu 1 ở vị trí
$$
A(2;,-2.5;,0.8)
$$ - Khinh khí cầu 2 ở vị trí
$$
B(-3;,1.5;,0.6)
$$ - Điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất có tọa độ
$$
M(-b;,-a;,0)
$$
(do cách gốc (a) km về Nam, (b) km về Tây)
Ý tưởng tối ưu
Cần tối thiểu:
$$
MA+MB
$$
Dùng phương pháp phản xạ qua mặt phẳng mặt đất (z=0):
Phản xạ (A) qua mặt phẳng (z=0), được:
$$
A\'(2;,-2.5;,-0.8)
$$
Khi đó (M) là giao điểm của đường thẳng (A\’B) với mặt phẳng (z=0).
Tìm giao điểm
Đường thẳng (A\’B):
$$
A\'(2,-2.5,-0.8),\quad B(-3,1.5,0.6)
$$
Vector chỉ phương:
$$
\overrightarrow{A\’B}=(-5,4,1.4)
$$
Phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x=2-5t\
y=-2.5+4t\
z=-0.8+1.4t
\end{cases}
$$
Cho (z=0):
$$
-0.8+1.4t=0
$$
$$
t=\frac{4}{7}
$$
Suy ra:
$$
x=2-5\cdot\frac47=-\frac67
$$
$$
y=-2.5+4\cdot\frac47=-\frac3{14}
$$
Vậy:
$$
M\left(-\frac67,,-\frac3{14},,0\right)
$$
Suy ra
$$
b=\frac67,\qquad a=\frac3{14}
$$
Tính:
$$
2a+3b
=2\cdot\frac3{14}+3\cdot\frac67
=\frac6{14}+\frac{18}{7}
=\frac37+\frac{18}{7}
=\frac{21}{7}=3
$$
Đáp án
$$
\boxed{3}
$$
Kiểm tra lại: Thay ngược tọa độ (M) đúng nằm trên mặt đất và đúng hướng Nam/Tây nên kết quả hợp lý.