Bắt đầu giải:
Tóm tắt dữ kiện:
- Số lượng sản phẩm sản xuất: $$x$$ với $$1 \le x \le 400$$.
- Hàm doanh thu: $$F(x) = x^3 – 1999x^2 + 1001000x + 250000$$ (đồng).
- Chi phí vận hành: $$G(x) = \frac{100000x}{\frac{3}{2}x + 1}$$ (đồng).
- Hàm chi phí nguyên vật liệu cơ sở: $$H(x) = 2x^3 + 100000x – 50000$$ (đồng).
- Chính sách giảm giá nguyên vật liệu:
- Giảm $$1\%$$ cho $$200$$ sản phẩm đầu tiên: Chi phí còn $$99\% \cdot H(x)$$ khi $$1 \le x \le 200$$.
- Giảm $$2\%$$ cho các sản phẩm tiếp theo ($$x > 200$$): Chi phí còn $$98\% \cdot H(x)$$.
- Yêu cầu: Tìm $$x$$ để lợi nhuận $$L(x) = \text{Doanh thu} – \text{Tổng chi phí}$$ đạt cực đại.
Bài giải chi tiết:
Bước 1: Xác định hàm chi phí nguyên vật liệu thực tế $$H_{tt}(x)$$
Do đề bài có sự thay đổi mức giảm giá tại điểm $$x = 200$$, ta xét trong khoảng thường gặp của bài toán kinh tế lớp 12 là tìm cực trị. Giả sử doanh nghiệp sản xuất trong khoảng từ $$201$$ đến $$400$$ sản phẩm để tối ưu quy mô:
Khi $$200 < x \le 400$$, chi phí nguyên vật liệu là:
$$H_{tt}(x) = 0,98 \cdot (2x^3 + 100000x – 50000) = 1,96x^3 + 98000x – 49000$$
Bước 2: Thiết lập hàm lợi nhuận $$L(x)$$
Tổng chi phí $$C(x) = G(x) + H{tt}(x)$$.
Lợi nhuận $$L(x) = F(x) – [G(x) + H{tt}(x)]$$
$$L(x) = (x^3 – 1999x^2 + 1001000x + 250000) – \left( \frac{100000x}{1,5x + 1} + 1,96x^3 + 98000x – 49000 \right)$$
$$L(x) = -0,96x^3 – 1999x^2 + 903000x + 299000 – \frac{100000x}{1,5x + 1}$$
Bước 3: Tính đạo hàm $$L'(x)$$
$$L'(x) = -2,88x^2 – 3998x + 903000 – \frac{100000(1,5x + 1) – 1,5(100000x)}{(1,5x + 1)^2}$$
$$L'(x) = -2,88x^2 – 3998x + 903000 – \frac{100000}{(1,5x + 1)^2}$$
Bước 4: Giải phương trình $$L'(x) = 0$$
Với $$x$$ lớn ($$200 \le x \le 400$$), giá trị của số hạng $$\frac{100000}{(1,5x + 1)^2}$$ rất nhỏ (xấp xỉ $$0,6$$ đến $$2,5$$), có thể tạm bỏ qua để ước lượng nghiệm của phương trình bậc hai:
$$-2,88x^2 – 3998x + 903000 \approx 0$$
Sử dụng công thức nghiệm hoặc máy tính bỏ túi:
$$x \approx 200,34$$ hoặc $$x \approx -1588,5$$ (loại)
Bước 5: Kiểm tra lại các giá trị biên và điểm tới hạn
- Nếu $$x \le 200$$, hàm chi phí thay đổi ($$0,99H(x)$$), tuy nhiên dựa trên đạo hàm âm ở các giá trị lớn và dương ở giá trị nhỏ hơn $$200$$, lợi nhuận có xu hướng đạt cực đại tại khu vực thay đổi chính sách chiết khấu.
- Thay $$x = 200$$: $$L'(200) \approx -2,88(40000) – 3998(200) + 903000 \approx -115200 – 799600 + 903000 = -11800 < 0$$.
- Do $$L'(x) < 0$$ với mọi $$x \ge 200$$, hàm số nghịch biến trên khoảng $$[200; 400]$$. Lợi nhuận tại $$x=200$$ sẽ lớn hơn các giá trị $$x > 200$$.
Bước 6: Kết luận
Vì hàm lợi nhuận tăng trước $$x=200$$ (với mức chiết khấu $$1\%$$) và giảm sau $$x=200$$ (với mức chiết khấu $$2\%$$ bỗng nhiên bị bù đắp bởi đà giảm của doanh thu so với chi phí bậc 3), doanh nghiệp cần sản xuất $$200$$ sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Đáp số: $$200$$ sản phẩm.